Construindo O Gráfico De Y = 48t - 8t² Passo A Passo

Neste artigo, vamos explorar detalhadamente como construir o gráfico da função quadrática y = 48t - 8t². Esta função representa uma parábola, e entender como plotar seu gráfico é fundamental em diversas áreas, desde a física até a economia. Vamos desmistificar o processo, passo a passo, para que você possa dominar a representação gráfica de funções quadráticas.

Entendendo a Função Quadrática

Antes de mergulharmos na construção do gráfico, é crucial compreender a natureza da função quadrática que temos em mãos: y = 48t - 8t². Esta é uma função polinomial de segundo grau, também conhecida como função quadrática, devido ao termo t². A forma geral de uma função quadrática é y = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes. No nosso caso, a = -8, b = 48 e c = 0. O coeficiente a determina a concavidade da parábola: se a é negativo, a parábola se abre para baixo (concavidade para baixo), e se a é positivo, a parábola se abre para cima (concavidade para cima). No nosso exemplo, como a = -8 é negativo, a parábola terá concavidade para baixo, o que significa que ela terá um ponto de máximo.

Identificar os coeficientes é o primeiro passo para entender o comportamento da função. O coeficiente a nos diz sobre a concavidade, o que já nos dá uma ideia da forma do gráfico. O coeficiente b está relacionado com a posição do eixo de simetria, que é uma linha vertical que divide a parábola em duas metades simétricas. O termo independente c representa o ponto onde a parábola intercepta o eixo y. No nosso caso, como c = 0, a parábola passa pela origem (0,0).

Uma análise detalhada dos coeficientes permite prever características importantes do gráfico, como a direção da abertura, a existência de um ponto máximo ou mínimo, e a interseção com o eixo y. Além disso, a forma geral da função quadrática nos permite aplicar fórmulas e técnicas específicas para encontrar pontos importantes, como o vértice e as raízes (pontos onde a parábola cruza o eixo x). Compreender esses conceitos é fundamental para construir o gráfico com precisão e interpretar seu significado.

Encontrando os Pontos Chave

Para construir o gráfico da função y = 48t - 8t², precisamos identificar alguns pontos chave que nos ajudarão a traçar a parábola com precisão. Os pontos mais importantes são as raízes (onde a parábola intercepta o eixo t), o vértice (o ponto máximo ou mínimo da parábola) e o ponto de interseção com o eixo y. Vamos calcular cada um deles passo a passo.

Raízes da Função

As raízes da função são os valores de t para os quais y = 0. Para encontrar as raízes, precisamos resolver a equação 48t - 8t² = 0. Podemos fatorar a equação para simplificar o processo: 8t(6 - t) = 0. Isso nos dá duas soluções: t = 0 e t = 6. Portanto, as raízes da função são t = 0 e t = 6. Esses pontos são cruciais, pois indicam onde a parábola cruza o eixo horizontal (eixo t).

Vértice da Parábola

O vértice da parábola é o ponto onde a função atinge seu valor máximo (ou mínimo). Como a parábola tem concavidade para baixo (devido ao coeficiente a ser negativo), o vértice será o ponto máximo. A coordenada t do vértice (tᵥ) pode ser calculada pela fórmula tᵥ = -b / 2a. No nosso caso, a = -8 e b = 48, então tᵥ = -48 / (2 * -8) = 3. Para encontrar a coordenada y do vértice (yᵥ), substituímos tᵥ na função original: yᵥ = 48(3) - 8(3)² = 144 - 72 = 72. Portanto, o vértice da parábola é o ponto (3, 72).

Interseção com o Eixo Y

A interseção com o eixo y ocorre quando t = 0. Substituindo t = 0 na função y = 48t - 8t², obtemos y = 48(0) - 8(0)² = 0. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 0), que também é uma das raízes da função.

Com as raízes (0 e 6), o vértice (3, 72) e a interseção com o eixo y (0, 0), temos informações suficientes para traçar o gráfico da parábola com precisão. Esses pontos nos dão uma ideia clara da forma e da posição da parábola no plano cartesiano.

Construindo o Gráfico Passo a Passo

Agora que identificamos os pontos chave, podemos construir o gráfico da função y = 48t - 8t² passo a passo. Este processo envolve a criação de um plano cartesiano, a marcação dos pontos importantes e o traçado da parábola suavemente através desses pontos.

Passo 1: Criar o Plano Cartesiano

O primeiro passo é criar um plano cartesiano, que consiste em dois eixos perpendiculares: o eixo horizontal (eixo t) e o eixo vertical (eixo y). Desenhe os eixos com uma escala adequada para os valores que você precisa plotar. No nosso caso, os valores de t variam de 0 a 6, e os valores de y variam de 0 a 72. Portanto, escolha uma escala que permita visualizar todos esses pontos claramente. Por exemplo, você pode usar uma escala de 1 unidade para cada divisão no eixo t e 10 unidades para cada divisão no eixo y.

Passo 2: Marcar os Pontos Chave

Em seguida, marque os pontos chave que calculamos anteriormente: as raízes (0, 0) e (6, 0), o vértice (3, 72) e a interseção com o eixo y (0, 0). Use pontos distintos para marcar cada um desses pontos no plano cartesiano. Esses pontos servirão como guias para traçar a parábola.

Passo 3: Traçar a Parábola

Com os pontos marcados, trace a parábola suavemente através desses pontos. Lembre-se de que a parábola tem concavidade para baixo, então ela se abre para baixo a partir do vértice. Comece no ponto (0, 0), suba até o vértice (3, 72) e depois desça até o ponto (6, 0). Tente desenhar uma curva suave e simétrica, refletindo a natureza da função quadrática. Se necessário, você pode calcular alguns pontos adicionais entre os pontos chave para garantir a precisão do gráfico.

Passo 4: Verificar a Simetria

Uma característica importante da parábola é sua simetria. O eixo de simetria é uma linha vertical que passa pelo vértice e divide a parábola em duas metades idênticas. No nosso caso, o eixo de simetria é a linha vertical t = 3. Verifique se o seu gráfico está simétrico em relação a essa linha. Pontos que estão à mesma distância do eixo de simetria devem ter a mesma coordenada y.

Ao seguir esses passos, você poderá construir o gráfico da função y = 48t - 8t² com precisão e clareza. A representação gráfica da função quadrática oferece uma visualização intuitiva do seu comportamento e permite identificar características importantes, como o ponto máximo e as raízes.

Interpretando o Gráfico

Depois de construir o gráfico da função y = 48t - 8t², é fundamental interpretar o que ele representa. O gráfico não é apenas uma curva no plano cartesiano; ele oferece informações valiosas sobre o comportamento da função e pode ser aplicado em diversos contextos práticos. Vamos explorar algumas interpretações importantes.

Ponto Máximo

O ponto máximo da parábola, que é o vértice (3, 72) no nosso caso, representa o valor máximo que a função y pode atingir. No contexto de um problema real, esse ponto pode indicar, por exemplo, a altura máxima alcançada por um objeto lançado ao ar (se y representasse a altura e t o tempo). O vértice nos diz que o valor máximo de y é 72, e ele é atingido quando t = 3. Essa informação pode ser crucial em aplicações práticas, como otimização de processos ou planejamento de experimentos.

Raízes da Função

As raízes da função, que são os pontos onde a parábola intercepta o eixo t (0 e 6 no nosso caso), representam os valores de t para os quais y = 0. Em um contexto prático, esses pontos podem indicar os momentos em que um objeto retorna ao solo (se y representasse a altura) ou os pontos de equilíbrio em um sistema. No nosso exemplo, as raízes nos dizem que y = 0 quando t = 0 e t = 6. Isso pode significar que o objeto começa no solo (t = 0), é lançado ao ar e retorna ao solo em t = 6.

Comportamento da Função

O comportamento da função ao longo do tempo também é revelado pelo gráfico. Observando a parábola, podemos ver que a função cresce até atingir o vértice e depois decresce. Isso indica que y aumenta à medida que t aumenta até t = 3, e depois y diminui à medida que t continua a aumentar. Essa informação é valiosa para entender a dinâmica do sistema que a função representa. Por exemplo, se a função representasse a velocidade de um carro, o gráfico nos diria que o carro acelera até um certo ponto e depois começa a desacelerar.

Aplicações Práticas

A interpretação do gráfico de uma função quadrática é fundamental em aplicações práticas em diversas áreas. Na física, por exemplo, o gráfico pode representar a trajetória de um projétil, e o vértice indica a altura máxima alcançada. Na economia, o gráfico pode representar a receita de uma empresa em função do preço de um produto, e o vértice indica o preço que maximiza a receita. Em engenharia, o gráfico pode representar a resistência de um material em função da temperatura, e as raízes indicam os limites de temperatura em que o material mantém sua integridade.

Conclusão

Neste artigo, exploramos o processo de construir e interpretar o gráfico da função y = 48t - 8t². Vimos como identificar os pontos chave (raízes, vértice e interseção com o eixo y), como plotar a parábola no plano cartesiano e como interpretar o significado do gráfico em termos de ponto máximo, raízes e comportamento da função. A construção de gráficos de funções quadráticas é uma habilidade essencial em matemática e tem aplicações em diversas áreas da ciência e engenharia. Ao dominar esse processo, você estará melhor equipado para analisar e resolver problemas que envolvem funções quadráticas.

Lembre-se de que a prática leva à perfeição. Quanto mais você construir e interpretar gráficos de funções quadráticas, mais fácil e intuitivo o processo se tornará. Use as técnicas e conceitos apresentados neste artigo como um guia e continue explorando o fascinante mundo das funções e seus gráficos.